Hausdorff Dimension

• Wenn eine Strecke, ein Quadrat oder ein Würfel in N Teile zerlegt wird, vorausgesetzt die neuen Teile haben gleich Kantenlänge, dann ist die Kantenlänge der neuen Teile
  r(N) = 1/N^(1/D)
  D: Hausdorff Dimension (1=Strecke, 2=Fläche, 3=Volumen)
  d.h.
         D=ln(1/N)/ln(r(N))

  Die Koch Kurve und ihre Dimension

  • Die Koch Kurve ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der Seitenlänge 1.
    L(1)=1
  • Jede Seite wird dann in 3 Teile geteilt und in der Mitte wird dann wieder ein Dreieck mit der Seitenlänge 1/3 errichtet.
    L(1/3) = 4/3
  • Jetzt wird wieder jede Seite in 3 Teile geteilt und wieder wird im mittleren Teil ein gleichschenkliges Dreieck errrichtet.
    L(1/9) = 16/9
  • L(eps/3)=4/3 L(eps)
    L(eps)=eps^(1-D)
    D=ln(4)/ln(3)